指数运算公式

一、指数函数和对数函数的运算公式

1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1,N>0； ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N（底数）（指数）（幂值）对数式logaN=b（底数）（对数）（真数） 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么（1）loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0？ ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.（学生填表）式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运算性质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a>0，且a≠1？理由如下： ①若a0,y>0,x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1). 令lgx=t，则lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t，得关于t的方程t2-St-S=0有实数解. ∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是（-∞，-4〕∪〔0，+∞）. 5 求值：（1）lg25+lg2·lg50+(lg2)2; (2)2log32-log3329+log38-52log53; (3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；（4）求7lg20·12lg0.7的值. 解析（1）25=52,50=5*10.都化成lg2与lg5的关系式. （2）转化为log32的关系式. （3）所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢？（4）7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x？解答（1）原式=lg52+lg2·lg(10*5)+(lg2)2 =2lg5+lg2·（1+lg5）+(lg2)2 =lg5·（2+lg2）+lg2+(lg2)2 =lg102·（2+lg2）+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0)， ∴ab=(a-2b)2，即a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0. 若ab=1，则a-2b0,a≠1,c>0,c≠1,N>0); (2)logab·logbc=logac; (3)logab=1logba(b>0,b≠1); (4)loganbm=mnlogab. 解析（1）设logaN=b得ab=N，两边取以c为底的对数求出b就可能得证. （2）中logbc能否也换成以a为底的对数. （3）应用（1）将logab换成以b为底的对数. （4）应用（1）将loganbm换成以a为底的对数. 解答（1）设logaN=b，则ab=N，两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN， ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由（1）logbc=logaclogab. 所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac. (3)由（1）logab=logbblogba=1logba. 解题规律（1）中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，（2）(3)(4)是（1）的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.（4）由（1）loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4，求log127. 解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢？解答已知log67=a,log34=b， ∴log127=log67log612=a1+log62. 又log62=log32log36=log321+log32，由log34=b，得2log32=b. ∴log32=b2，∴log62=b21+b2=b2+b. ∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧ر8 已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z. (1)求满足2x=py的p值；（2）求与p最接近的整数值；（3）求证：12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z？又想，对于指数式能否用对数的方法去解答？解答（1）解法一3x=4yÞlog33x=log34yÞx=ylog34Þ2x=2ylog34=ylog316， ∴p=log316. 解法二设3x=4y=m，取对数得： x·lg3=lgm,ylg4=lgm， ∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py，得 2lgmlg3=plgmlg4， ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab？解答logma+b3=logm(a+b3)212= 解题技巧 ①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一. ②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. ∵a2+b2=7ab， ∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb)，即logma+b3=12(logma+logmb). 思维拓展发散 1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a*10n.其中N>0,1≤alogk44>logk。

二、指数是怎么计算出来的

上证指数系列均以“点”为单位。

1。基日、基期与基期指数基期亦称为除数上证180指数是1996年7月1日起正式发布的上证30指数的延续，基点为2002年6月28日上证30指数的收盘指数3299。

05点，2002年7月1日正式发布。上证50指数以2003年12月31日为基日，以该日50只成份股的调整市值为基期，基期指数定为1000点，自2004年1月2日起正式发布。

上证红利指数以2004年12月31日为基日，以该日所有样本股的调整市值为基期，基期指数定为1000点，自2005年1月4日起正式发布。上证综合指数以1990年12月19日为基日，以该日所有股票的市价总值为基期，基期指数定为100点，自1991年7月15日起正式发布。

新上证综指以2005年12月30日为基日，以该日所有样本股票的总市值为基期，基点1000点，自2006年第一个交易日正式发布。上证A股指数以1990年12月19日为基日，以该日所有A股的市价总值为基期，基期指数定为100点，自1992年2月21日起正式发布。

上证B股指数，以1992年2月21日为基日，以该日所有B股的市价总值为基期，基期指数定为100点，自1992年8月17日起正式发布。分类指数以1993年4月30日为基日，以该日相应行业类别所有股票的市价总值为基期，基期指数统一定为1358。

78点（1993年4月30日上证综合指数收盘值），自1993年6月1日起正式发布。上证基金指数以2000年5月8日为基日，以该日所有证券投资基金市价总值为基期，基日指数为1000点，自2000年6月9日起正式发布。

2。计算公式上证指数系列均采用派许加权综合价格指数公式计算上证180指数上证成份指数以成份股的调整股本数为权数进行加权计算，计算公式为：报告期指数 = 报告期成份股的调整市值 / 基日成份股的调整市值 * 1000 其中，调整市值 = ∑（市价*调整股本数），基日成份股的调整市值亦称为除数，调整股本数采用分级靠档的方法对成份股股本进行调整。

根据国际惯例和专家委员会意见，上证成份指数的分级靠档方法如下表所示。比如，某股票流通股比例（流通股本/总股本）为7%，低于10%，则采用流通股本为权数；某股票流通比例为35%，落在区间（30,40 ）内，对应的加权比例为40%，则将总股本的40%作为权数。

流通比例（%） ≤10 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] >80 加权比例（%）流通比例 20 30 40 50 60 70 80 100 上证50指数上证50指数采用派许加权方法，按照样本股的调整股本数为权数进行加权计算。计算公式为：报告期指数 = 报告期成份股的调整市值 / 基期 * 1000 其中，调整市值 = ∑（市价*调整股数）。

调整股本数采用分级靠档的方法对成份股股本进行调整。上证50指数的分级靠档方法如下表所示：流通比例（%） ≤10 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] >80 加权比例（%）流通比例 20 30 40 50 60 70 80 100 上证红利指数上证红利指数采用派许加权方法，按照样本股的调整股本数为权数进行加权计算。

计算公式为：报告期指数 = 报告期成份股的调整市值 / 基期 * 基期指数其中，调整市值 = ∑（市价*调整股数）。调整股本数采用分级靠档的方法对成份股股本进行调整。

上证红利指数的分级靠档方法如下表所示：流通比例（%） ≤10 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80] >80 加权比例（%）流通比例 20 30 40 50 60 70 80 100 综合指数与分类指数上证综合指数与分类指数以样本股的发行股本数为权数进行加权计算，计算公式为：报告期指数 =报告期成份股的总市值 / 基期 * 基期指数其中，总市值 = ∑（市价*发行股数）。新上证综指采用派许加权方法，以样本股的发行股本数为权数进行加权计算，计算公式为：报告期指数 =（报告期成份股的总市值/基期）*基期指数其中，总市值 = ∑（市价*发行股数）。

基金指数基金指数以基金发行份额为权数进行加权计算，计算公式为：报告期指数 =报告期基金的总市值 / 基期 * 基日指数其中，总市值 = ∑（市价*发行份额） B股价格单位成份股中的B股在计算上证B股指数时，价格采用美元计算。成份股中的B股在计算其他指数时，价格按适用汇率（中国外汇交易中心每周最后一个交易日的人民币兑美元的中间价）折算成人民币。

3。指数的实时计算上证指数系列均为“实时逐笔”计算。

具体做法是，在每一交易日集合竞价结束后，用集合竞价产生的股票开盘价（无成交者取昨收盘价）计算开盘指数，以后每有一笔新的成交，就重新计算一次指数，直至收盘，实时向外发布。其中各成份股的计算价位（X）根据以下原则确定：若当日没有成交，则 X = 前日收盘价若当日有成交，则 X = 最新成交价。

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三、指数运算公式

1、 2、 3、 4、 5、运算法则：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。（3）函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则单调递减。（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

（7）函数总是通过定点（0,1） (8) 指数函数无界。（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。扩展资料：指数的发展历程：指数与幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的指数符号（ Sign of power）的种类繁多，且记法多样化。

我国古代“幂”字至少有十各不同的写法。刘徽为《九章算术》作注，在《方田》章求矩形面积法则中写道：“此积谓田幂，凡广从相乘谓之幂（长和宽相乘的积叫作幂）。”

这是第一次在数学文献上出现幂。 1607 年，利玛窦和徐光启合译欧几里得的《几何原本》，在译本中徐光启重新使用了幂字，并有注解：“自乘之数曰幂。”

这是第一次给幂这个概念下定义。至十七世纪，具有“现代”意义的指数符号才出现。

参考资料来源：百度百科-指数参考资料来源：百度百科-指数运算法则。

四、指数函数运算法则

指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数y=a^x中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（7）函数总是通过（0,1）这点（8）显然指数函数无界。

（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。

例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数； ⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1，所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1,N>0； ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N（底数）（指数）（幂值）对数式logaN=b（底数）（对数）（真数） 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0，那么（1）loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 记忆口决有理数的指数幂，运算法则要记住。指数加减底不变，同底数幂相乘除。

指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。积商乘方原指数，换底乘方再乘除。

非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。负整数的指数幂，指数转正求倒数。

看到分数指数幂，想到底数必非负。乘方指数是分子，根指数要当分母。