1. 怎么化成实对称矩阵,之后怎么做

【分析】

二次型xTAx必存在坐标变换x=Cy化其为标准形yTBy。即实对称矩阵A必存在可逆矩阵C使其与对角矩阵B合同，亦即CTAC=B

如果选择正交变换，即C是正交矩阵，那么

B=CTAC=C-1AC

说明在正交变换下，A不仅与B合同，而且A与B相似，因此B就是A的特征值，

另一方面，在二次型yTBy中，B就是标准形平方项系数。

因此，二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值。

【解答】

本题中 g=y1^2+y2^2+1/2y3^2，，即矩阵A的特征值是1,1,1/2，利用特征值之和等于主对角线元素之和可知

1+1+1/2=2+t t=1/2

newmanhero 2015年1月13日23:01:27

希望对你有所帮助，望采纳。

这可要要多加分啊。【分析】的内容要仔细理解，掌握，对你有很大帮助。

2. 化矩阵为对称矩阵

先求出A'A如上所示

显然通过合同变换，可以化成对角阵，如上所示

相应矩阵P=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 -4/5

0 0 0 1

3. 怎么用正交矩阵把这个实对称矩阵化为对角形

首先要知道正交矩阵的性质，每行每列的模长都是单位向量，并且任意两行或者任意两列都正交，对应向量就是向量垂直且模长为1。

而求正交矩阵实际上就是求特征值和特征向量的过程。求特征值用A-aE的行列式等于0，对应特征向量相当于解方程组。

求完特征值和特征向量之后就可以把特征值写成对角矩阵，每个元素是一个特征值，这就是化成了对角矩阵，而正交矩阵就是对应特征向量构成的矩阵。比如特征值为a，对应特征向量为A，当你把a写在对角矩阵第一列的时候，A就对应P的第一列。

然后就是把P化成正交矩阵了。实对称矩阵有一个性质就是，当特征值不同时，特征向量必正交。

所以如果求出来的特征值两两不同的话就不需要对特征向量正交化，只需要把模长变成1。如果有两个特征向量的特征值相同，就需要正交化。

用施密特正交化。然后单位化。

4. 把矩阵化为单位矩阵的技巧

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量

X=(x_1,。x_n) 都有 XMX^t>0，就称M正定。

正定矩阵在相似变换下可化为标准型， 即单位矩阵。

所有特征值大于零的矩阵也是正定矩阵。

n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A*A′=I

则下列诸条件是等价的：

1) A 是正交矩阵

2) A*A′=I 为单位矩阵

3) A′是正交矩阵

4) A的各行是单位向量且两两正交

5) A的各列是单位向量且两两正交

6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R